НИИ МЛЯ
(прокрастинация. профанация. прострация.)
На главную Отдел ИИ Отдел ПА Отдел РП Лаборатория ЕН Лаборатория ЭХ
Лаборатория естественных наук

О приведении одного уравнения в частных производных к каноническому виду

(Принято к публикации 2014-12-05)

Пусть у нас есть уравнение в частных производных:

U xx - 10 U xy + 25 U yy + 2 U x - 10 U y = 0
Требуется привести его к каноническому виду.

Рассмотрим характеристическое уравнение:

dy 2 + 10 dx dy + 25 dx 2 = 0
dy + 5 dx 2 = 0
Общий интеграл этого уравнения, таким образом, оказывается равен: y=-5x+C

Как видим, наше уравнение - параболического типа. Так как общий интеграл у него только один, то в качестве замены переменных можно воспользоваться им и какой-нибудь независимой функцией, например:

α=5x+y β=x-5y
Отсюда получаем зависимости x=xα, β и y=yα, β :
x = 5α+β 26 y = α-5β 26

Тогда для произвольной функции F = F x α, β , y α, β получим простые формулы, связывающие её частные производные в этих системах координат:

Fα = Fx dx dα + Fy dy dα = 126 5 Fx + Fy
F β = Fx dx dβ + Fy dy dβ = 126 Fx - 5 Fy

В частности, для функции U получаем:

Uα = 126 5 Ux + Uy
Uβ = 126 Ux - 5 Uy
Uαα = Uαα = 126 5 Ux + Uy α = 1262 5 5 U xx + U xy + 5 U yx + U yy
Uαβ = Uαβ = 126 5 Ux + Uy β = 1262 5 U xx - 5 U xy + U yx - 5 U yy
Uββ = Uββ = 126 Ux - 5 Uy β = 1262 U xx - 5 U xy - 5 U yx - 5 U yy

Теперь из первых двух уравнений выразим Ux и Uy :

Ux = 5 Uα + Uβ
Uy = Uα - 5 Uβ
и подставим всё в исходное уравнение:
262 U ββ + 2 5 Uα + Uβ - 10 Uα - 5 Uβ = 0
262 U ββ + 52 Uβ = 0

Получили окончательный ответ:

13 U ββ + Uβ = 0